Fino a oggi, l'integrale è stato il nostro strumento per misurare lo spazio tra una singola curva e il piano fisso dell'asse delle ascisse. Ma cosa succede se il pavimento stesso si muove? In questa lezione superiamo l'asse e impariamo a calcolare l'area di regioni intrappolate tra due limiti funzionali indipendenti, $f(x)$ e $g(x)$.
La Geometria delle Differenze
Per trovare l'area $A$ di una regione $S$ delimitata da $y = f(x)$ e $y = g(x)$ tra $x = a$ e $x = b$, utilizziamo la stessa logica della somma di Riemann che ha fondato i principi del calcolo.
L'estensione di Riemann
Dividiamo la regione in $n$ strisce verticali. Se $x_i^*$ è un punto campione nel $i$-esimo intervallo, l'altezza del rettangolo approssimante non è solo $f(x_i^*)$, ma la differenza tra le altezze della curva superiore e quella inferiore:
$$h = f(x_i^*) - g(x_i^*)$$
Dalla Somma all'Integrazione
Man mano che aumentiamo il numero di strisce all'infinito ($n \to \infty$), la somma di queste aree rettangolari converge all'integrale definito:
Formula chiave:
$$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} [f(x_i^*) - g(x_i^*)] \Delta x = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
dove $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
Regola della Differenza Assoluta
E se le curve si intersecano? Se integriamo semplicemente $f-g$ mentre $g$ è effettivamente sopra $f$, otterremo un risultato negativo. Per garantire che calcoliamo sempre la magnitudine dell'area, usiamo il valore assoluto:
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$
🎯 Teorema della Formula dell'Area
Se $f$ e $g$ sono funzioni continue e $f(x) \ge g(x)$ per ogni $x$ nell'intervallo $[a, b]$, l'area $A$ della regione delimitata da $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$, e $x = b$ è:
$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
Esempio 1: Esponenziale vs. Lineare
Trova l'area delimitata superiormente da $y = e^x$, inferiormente da $y = x$, da $x = 0$ a $x = 1$.
$$A = \int_0^1 (e^x - x) dx = [e^x - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (e - \frac{1}{2}) - (e^0 - 0) = e - 1.5 \approx 1.218$$